Как исследовать квадратичную функцию на ноутбуке и не ошибиться с графиком
Сначала поставьте вопрос к графику
На уроке алгебры преподаватель предлагает исследовать семейство парабол. Можно быстро открыть программу, ввести выражение и показать несколько красивых кривых. Но ответ на вопрос «что изменилось?» всё равно придётся сформулировать самому. Начните с фразы, которую собираетесь проверить, например: если к квадрату числа прибавить постоянную величину, вся кривая поднимется на одинаковое расстояние. В такой постановке уже есть предсказание, его можно проверить по таблице и объяснить алгебраически.
Для первого опыта достаточно программы, умеющей строить график функции, или электронной таблицы с точечной диаграммой. Уточните требования учителя, если в классе принят конкретный редактор. Большой дисплей удобен для параллельного просмотра формулы и кривой, но главное удобство ноутбука состоит в возможности менять параметр и сохранять прежний результат для сравнения. Заводите отдельную строку для каждого опыта. Записывайте исходное выражение, предсказание, результат наблюдения и способ проверки. После нескольких опытов одинаковые на первый взгляд сдвиги легче отличить по этим четырём записям.
Нанесите исходную параболу и задайте постоянный масштаб
Пусть исходная функция равна квадрату аргумента. Выпишите значения аргумента от минус трёх до трёх с шагом один и отдельно посчитайте квадраты. Слева и справа от нуля вы получите одинаковые значения для противоположных аргументов. Проверьте, что редактор читает отрицательное число как основание, возводимое в квадрат. В записи от руки и в программной строке приоритет унарного минуса и степени может запутать начинающего. При подстановке отрицательного аргумента поставьте скобки вокруг всего числа и проверьте результат на простом случае.
В таблице выбирайте точечную диаграмму с числовой осью аргумента. Подпишите обе оси и задайте область просмотра, вмещающую интересующие значения. Сохраните масштаб, с которым будете сравнивать следующие построения. Некоторые программы автоматически растягивают оси после ввода новой функции. Тогда парабола визуально меняет ширину только из-за того, что единица по вертикали стала другой. Если масштаб нельзя удобно зафиксировать, оставьте исходную и изменённую кривую в одном окне. Для проверки ключевых выводов всё равно используйте конкретные координаты точек.
Отделите вертикальный перенос от растяжения
Добавьте к исходной функции постоянную три. Прежде чем обновить график, вычислите ожидаемые значения в нуле и в единице. Для исходной параболы это ноль и один, после прибавления трёх должны получиться три и четыре. Вычтите старое значение из нового при нескольких аргументах. Разность всякий раз равна трём, потому что выражение изменилось одним и тем же слагаемым. Положение вершины по горизонтали сохраняется, а по вертикали меняется. Снимок экрана поможет показать это классу, но короткий расчёт объясняет, почему наблюдение справедливо и между выписанными точками.
Теперь вместо прибавления умножьте квадрат аргумента на два. В нуле останется ноль, а в единице получится два. В точке с аргументом два разность со старой функцией уже составит четыре. Значит, это другой вид изменения, даже если одна часть кривой на картинке тоже ушла вверх. Объясните различие через координаты двух точек. Если при защите работы вас спросят, как отличить эти преобразования, достаточно показать, что прибавление трёх меняет каждую ординату на три, а умножение на два изменяет её в зависимости от исходного значения.
Разберитесь со знаком внутри скобок
Введите квадрат разности аргумента и двух. Попробуйте сначала ответить без рисунка, где новая функция обращается в ноль. Для этого всё выражение в скобках должно быть равно нулю, следовательно, аргумент равен двум. Так вы находите новую вершину почти без вычислений. Распространённая ошибка состоит в том, что знак минус автоматически воспринимают как сдвиг влево. Точка с аргументом два показывает противоположное. Можно дополнительно проверить соседей: при аргументах один и три разность имеет разные знаки, но квадрат в обоих случаях равен единице.
Добавьте в таблицу отдельный столбец со значениями разности до возведения в квадрат. По нему легче заметить, что сначала меняется вход функции, а уже потом производится основное действие. Сравните с выражением, где из квадрата аргумента вычитают два. В этом случае ноль внутри скобок искать бессмысленно, потому что скобок и подстановки нового входа вообще нет. Проверьте оба выражения в нуле: одно даёт четыре, второе минус два. Такой быстрый контроль особенно полезен, когда формулы на изображении выглядят почти одинаково.
Найдите вершину и пересечения с осями
Соберите функцию, у которой вершина смещается по обеим осям: возьмите квадрат разности аргумента и двух, затем вычтите единицу. При аргументе два первое слагаемое равно нулю, поэтому вершина имеет ординату минус один. Найдите пересечения с горизонтальной осью. Квадрат разности должен равняться единице, а значит, сама разность равна либо одному, либо минус одному. Получаются аргументы три и один. Подставьте оба значения и убедитесь в нулевом результате. Редактор покажет такую же картину при правильно выбранном масштабе.
Пересечение с вертикальной осью ищется иначе: аргумент равен нулю независимо от того, где стоит вершина. Подстановка даст три. На рисунке подпишите эти три типа точек разными обозначениями, чтобы во время объяснения не спутать вершину с корнем уравнения. Если одно из пересечений оказалось за краем окна, расширьте область просмотра и укажите масштаб. Пустой угол изображения не служит доказательством отсутствия решения. В этом и проявляется ценность совместной работы с таблицей, уравнением и графиком: один способ страхует наблюдения, сделанные другим способом.
Проверьте вывод там, где рисунок легко обманывает
Сдвиньте вершину исходной параболы немного выше горизонтальной оси. На экране при крупном диапазоне значений может показаться, что кривая касается оси. Проверьте наименьшее значение функции. Если оно положительно, действительных корней нет, даже когда линия толщиной в несколько пикселей накрывает ось. Повторите опыт с небольшим сдвигом вниз. Теперь корни есть, но расстояние между ними может визуально теряться при прежнем масштабе. Изменение вида помогает разглядеть детали, а решение уравнения даёт ответ независимо от толщины линии.
Затем осознанно уменьшите коэффициент при квадрате и оставьте без изменений все остальные параметры. На прежнем масштабе ветви станут более пологими, а вершина останется там же. При отрицательном коэффициенте ветви направятся вниз, и вершина станет точкой наибольшего значения вместо наименьшего. Нулевой коэффициент — особый случай: квадратичный член исчезает. Когда ползунок параметра проходит через ноль, сделайте отдельную запись о таком изменении вида функции. Не описывайте горизонтальную прямую как ещё одну разновидность параболы только потому, что на экране остался тот же цвет графика.
Подготовьте короткое объяснение для проверки
Возьмите один из полученных рисунков, временно скройте формулу и попытайтесь восстановить возможное выражение по вершине и ещё одной точке. Из координат вершины появляется вид записи со скобками, а дополнительная точка помогает найти коэффициент при квадрате. После этого откройте исходную формулу и проверьте выбранные координаты подстановкой. Если восстановление не удаётся, выясните, каких сведений не хватает: возможно, на графике не видны числовые отметки и вы сравниваете только внешнюю форму.
Сохраните чистовой файл с тремя элементами: исходной функцией, одной проверенной гипотезой и контрпримером к распространённой ошибке. Для контрпримера хорошо подойдёт различие между вычитанием числа из аргумента и вычитанием после возведения в квадрат. При выборе ноутбука для математики попробуйте именно этот короткий сценарий: набрать выражение со скобками, увеличить маленькую область, прочитать подписи и написать рядом объяснение обычными словами. Устройство подходит для учебной задачи, когда эти действия не мешают сосредоточиться на самой закономерности.